Cours Eléments d'algorithmique en PDF (Avancé)

Eléments d’algorithmique : Ce qu'il faut savoir. Définition factuelle : ensemble structuré de notions formelles et de techniques permettant d'analyser, concevoir et comparer des algorithmes au moyen d'outils tels que la notation Θ/O/Ω, les récurrences et les structures de données fondamentales. L'algorithmique conditionne les choix d'implémentation en production et la faisabilité des traitements (temps d'exécution, mémoire) dans des contextes comme la cryptographie, le traitement de graphes ou le tri. Disponible en PDF gratuit, ce document contient définitions, démonstrations, exemples de code et compléments d'exercices pour approfondir la pratique.

🎯 Ce que vous allez apprendre

• Analyse de complexité asymptotique — maîtrise des notations O, Θ et Ω et de leur interprétation rigoureuse. Vous saurez établir des bornes temporelles et spatiales pour un algorithme et traduire des preuves informelles en inégalités asymptotiques exploitables pour comparer des solutions.
• Résolution de récurrences et techniques de récursivité — méthodes pour analyser les algorithmes récursifs, y compris récurrences linéaires et de partition. À l'issue, vous pourrez justifier la complexité du tri fusion et du tri rapide et appliquer des théorèmes de maîtrise pour déduire des ordres de grandeur.
• Structures de données fondamentales — comportements et coûts amortis des tableaux, listes chaînées, piles, files et tables de hachage. Vous serez capable d'argumenter le choix d'une représentation (matrice d'adjacence vs liste de successeurs, tableau vs liste) en fonction des contraintes de complexité temporelle et spatiale.
• Arbres et files de priorité — représentation, parcours et opérations sur arbres binaires de recherche, tas et arbres équilibrés (AVL). Vous saurez implémenter et analyser le tri par tas, les opérations d'insertion/suppression et expliquer les principes du rééquilibrage.
• Algorithmes sur graphes et recherche de motifs — parcours en largeur/profondeur, tri topologique, fermeture transitive, calcul de chemins optimaux et algorithmes de recherche de motifs comme Rabin-Karp. Vous pourrez choisir la méthode adaptée (BFS/DFS, Dijkstra, automates finis) et argumenter ses coûts sur la représentation du graphe.
• Exemples et code en contexte — lecture et analyse d'extraits de code (par ex. unsigned int sum_of_squares(unsigned int n)), compléments et exercices étoilés pour tester la compréhension. Attendu : appliquer l'analyse aux fragments de code et transformer une spécification en algorithme mesurable.

📑 Sommaire du document

• Complexité
• Récursivité
• Structures de Données
• Recherche en table
• Arbres
• Graphes
• Recherche de motifs

💡 Pourquoi choisir ce cours ?

Ce polycopié, rédigé par Françoise Levy-dit-Vehel et Matthieu Finiasz (ENSTA), combine rigueur formelle et exemples concrets : définitions mathématiques de la complexité, résolution de récurrences, représentations mémoire et implications pratiques. Le document propose des illustrations par code C, des compléments marqués par des étoiles et des cas concrets (tri, hachage, parcours de graphes) qui facilitent le passage de la théorie à l'implémentation. Son niveau et son découpage en chapitres en font une ressource adaptée pour consolider une culture algorithmique approfondie.

👤 À qui s'adresse ce cours ?

• Public cible : étudiants en informatique de niveau licence/master, ingénieurs en développement ou recherche souhaitant consolider l'analyse d'algorithmes, et toute personne confrontée à des problèmes de performance sur structures de données et graphes.
• Prérequis : notions de mathématiques discrètes (logarithmes, bornes asymptotiques), programmation impérative (idéalement en C), et connaissance de base des structures de données (tableaux, listes) et de l'algèbre élémentaire pour manipuler récurrences.

❓ Foire Aux Questions (FAQ)

Comment choisir entre une matrice d'adjacence et une liste de successeurs pour représenter un graphe ? Réponse : la matrice d'adjacence offre des accès O(1) pour tester l'existence d'un arc mais coûte Θ(n2) en mémoire, adaptée aux graphes denses. La liste de successeurs réduit la mémoire à Θ(n+m) pour m arêtes et permet des parcours en O(n+m) avec BFS/DFS, ce qui la rend préférable pour les graphes clairsemés.

Quelles techniques utilisent les auteurs pour résoudre les récurrences de partition (tri rapide, tri fusion) ? Réponse : le polycadre introduit les relations de récurrence et la méthode de maîtrise, puis compare les cas moyens et pires en se fondant sur des décompositions par partition. Ces outils permettent de justifier rigoureusement pourquoi le tri fusion est Θ(n log n) et pourquoi le tri rapide peut atteindre O(n2) dans le pire cas.