Cours Algorithmique en PDF (Avancé, TD corrigés)

Algorithmique : Ce qu'il faut savoir. Discipline qui étudie la conception, l'analyse et la correction d'algorithmes pour résoudre des problèmes computationnels, en mesurant coûts en temps et en espace à l'aide de notations asymptotiques et d'outils formels (récurrences, théorèmes, preuves d'optimalité). Il est disponible en PDF gratuit pour téléchargement et usage académique.

Définition simple d'un algorithme

Un algorithme se définit comme une procédure finie et précise transformant des données d'entrée en résultats déterminés. Il combine règles opérationnelles, conditions d'arrêt et gestion des cas limites. Cette description facilite la comparaison de solutions selon des critères mesurables : complexité temporelle, usage mémoire et caractère reproductible des résultats.

Définition et enjeux de l'algorithmique

Un algorithme est une succession d'instructions finies permettant de transformer des données d'entrée en un résultat attendu. L'algorithmique vise à garantir la correction, l'efficacité temporelle et la maîtrise de l'usage mémoire. Les enjeux pratiques incluent la scalabilité des solutions, la robustesse face à des entrées pathologiques et les compromis entre exactitude et performance (approximation, heuristiques, FPTAS). Ce document couvre à la fois les fondements théoriques et des applications pour l'implémentation et l'évaluation expérimentale.

Qu'est-ce qu'un algorithme ?

Notions de base et définitions : une procédure décrit une suite d'étapes élémentaires, exécutables sur un modèle de calcul donné. La traduction en code nécessite le choix d'un modèle de données, la gestion des invariants et des cas limites, puis des tests pour valider complexité et correction. Cette approche constitue un tutoriel pratique avant l'implémentation dans un langage de programmation.

Définition formelle : une suite finie d'étapes, chacune précisément spécifiée, qui reçoit des entrées et produit des sorties après un nombre fini d'opérations. La notion implique la terminaison, la précision des instructions et la reproductibilité du résultat pour les mêmes entrées.

• Terminaison : la procédure doit s'arrêter après un nombre fini d'opérations pour toute instance admissible.
• Déterminisme / nondéterminisme : le comportement peut être déterministe (mêmes entrées → même sortie) ou autoriser des choix non déterministes contrôlés.
• Correction : la solution produite doit satisfaire la spécification du problème pour toutes les instances valides.
• Finitude : les étapes et les ressources utilisées doivent rester bornées et décrites précisément.

Propriétés et caractéristiques d'un algorithme

Les propriétés d'une procédure influencent directement son implémentation, son analyse et son usage pratique. Au-delà de la terminaison et de la correction, l'étude porte sur les bornes temporelles et spatiales, la sensibilité aux entrées et la complexité amortie sur une suite d'opérations. Ces caractéristiques guident le choix entre méthodes exactes, heuristiques ou approchées selon contraintes de temps et de mémoire, et orientent les tests empiriques nécessaires pour valider les performances.

Concepts fondamentaux de l'algorithmique

Modèles de calcul, représentation des données et mesures de coût forment le socle des concepts fondamentaux. Le document présente le modèle RAM pour estimer la complexité, différencie représentations (tableaux, listes liées, arbres, graphes) et explique l'impact des choix de types de données sur les coûts d'accès et d'allocation mémoire. Cette section prépare à l'analyse formelle et aux exercices corrigés qui suivent.

Notion de sous-programmes et compilation : un algorithme se compose souvent de sous‑programmes (fonctions/procédures) facilitant la modélisation et la réutilisation. Lors de la compilation, ces blocs sont traduits en instructions exécutables par la machine, ce qui relie étroitement algorithmique et programmation. Les optimisations du compilateur et l'organisation des appels influencent la complexité algorithmique observée en pratique et les propriétés d'un algorithme.

🎯 Ce que vous allez apprendre

• Résolution des récurrences et Master theorem — formalisation du coût des algorithmes récursifs par équations de récurrence et application du Master theorem pour obtenir des bornes asymptotiques. Manipulation des récurrences homogènes et non homogènes, et interprétation des solutions pour la conception diviser‑pour‑régner.
• Algorithmes diviser‑pour‑régner (Strassen, produit de polynômes) — techniques de décomposition pour réduire la complexité asymptotique, analyse des constantes et choix de la méthode selon contraintes de taille et de mémoire.
• Programmation dynamique (sac à dos, pièces, plus longue sous‑suite) — formulation des états, tables de DP, optimisation d'espace (1D vs 2D) et variantes FPTAS proposées en exercices.
• Algorithmes sur graphes (Dijkstra, BFS, DFS, tri topologique) — représentations (matrice vs listes), parcours, plus courts chemins pour poids positifs, composantes fortement connexes et usage du tri topologique pour gérer dépendances.
• Structures de données et tables de hachage — principes de hachage, collisions (séparées, adressage ouvert), analyse du facteur de charge et compromis temps/mémoire.
• Analyse amortie, NP‑complétude et algorithmes d'approximation — méthodes des acomptes et du potentiel, définitions P/NP et réductions classiques, et techniques d'approximation (2‑approx, FPTAS) pour problèmes intractables en temps polynomial.
• Types de données et leur lien avec la machine — représentations binaires, coût des accès et impact sur la complexité, notions indispensables pour concevoir des solutions efficaces.

Exemples de problèmes traités

Le document illustre les méthodes par des cas concrets couvrant des familles de problèmes fréquentes en algorithmique et en informatique appliquée. Les exemples choisis mettent en évidence les stratégies (diviser‑pour‑régner, programmation dynamique, greedy), les compromis pratiques et les analyses de complexité requises pour valider les solutions dans un contexte d'exercices corrigés et d'implémentations expérimentales.

• Le problème du sac à dos (Knapsack)
• Le tri rapide (Quicksort)
• Plus longue sous‑suite croissante (LIS)
• Plus courts chemins (Dijkstra)
• Multiplication rapide de matrices / Strassen
• Arbre couvrant minimal (Kruskal, Prim)
• Tables de hachage et résolution de collisions

📑 Sommaire du document

• Introduction : calcul de xn
• Diviser pour régner
• Programmation dynamique
• Algorithmes gloutons
• Tri
• Graphes
• Tables de hachage
• Analyse amortie

💡 Pourquoi choisir ce cours ?

Document issu de l'ENS Lyon, rédigé par Anne Benoit, Benjamin Depardon, Christophe Mouilleron et Clément Resvoy. Le polycopié combine cours magistraux et séances de TD avec corrigés, alternant démonstrations formelles, preuves de complexité et exercices guidés. La richesse des références et des travaux dirigés en fait une ressource rigoureuse pour la L3 et le début de master, utile pour la préparation d'examens et l'auto‑formation ciblée.

👤 À qui s'adresse ce cours ?

• Public cible : étudiants de licence avancée ou début de master en informatique, enseignants et ingénieurs souhaitant consolider les fondements théoriques et pratiques.
• Prérequis : notions de complexité (notations asymptotiques), logique et méthodes de preuve, familiarité avec structures de données de base et expérience pratique d'un langage pour implémenter et tester les algorithmes.

Méthodologie de résolution d'exercices

Approche structurée : lecture attentive de l'énoncé, formalisation des données et des invariants, choix d'une stratégie adaptée (diviser‑pour‑régner, DP, greedy, réduction), preuve de correction et estimation de la complexité, puis implémentation et tests. Les séances de TD proposent des exercices corrigés guidant chaque étape, avec variantes pour approfondir l'analyse empirique et l'optimisation mémoire.

❓ Foire Aux Questions (FAQ)