Algorithmique de graphes - Maîtriser les parcours et optimisations

Ce cours sur l'Algorithmique de graphes couvre les concepts fondamentaux et les techniques avancées pour maîtriser l'analyse et la résolution de problèmes liés aux graphes. Il aborde les graphes finis et infinis, la dualité cycle-cocycle, ainsi que les espaces vectoriels associés. Les algorithmes gloutons, notamment pour les arbres recouvrants de poids minimum, sont expliqués avec leurs variantes. Le document explore les graphes orientés, incluant les définitions de base, les arborescences et des exercices pratiques. Les méthodes de parcours, comme le parcours générique et en profondeur, sont détaillées pour une compréhension approfondie. Les algorithmes de plus courts chemins sont présentés dans un cadre général, avec une attention particulière aux graphes sans circuits. La fermeture transitive est analysée via des produits matriciels et les algèbres max-plus. Les thèmes de connectivité, les flots dans les graphes et les graphes planaires complètent ce cours, offrant une vision globale des applications théoriques et pratiques de l'algorithmique des graphes. Ce PDF gratuit, rédigé par Michel Habib, constitue une ressource précieuse pour les étudiants et professionnels en informatique.

Contenus explorés en détail

Ce cours approfondit l'algorithmique des graphes, en couvrant des concepts fondamentaux et des techniques avancées pour résoudre des problèmes complexes. Les sujets incluent les structures de graphes, les algorithmes de parcours, les plus courts chemins, et les applications pratiques.

• Comprendre les structures de graphes : Graphes finis vs infinis, dualité cycle-cocycle, et espaces vectoriels associés.
• Maîtriser les algorithmes gloutons : Arbres recouvrants de poids minimum (Kruskal, Prim) et leurs variantes.
• Analyser les graphes orientés : Définitions de base, arborescences, et parcours (profondeur, largeur).
• Résoudre les problèmes de plus courts chemins : Algorithmes de Dijkstra, Bellman-Ford, et cas des graphes sans circuits.
• Appliquer les concepts de connectivité et flots : Fermeture transitive, flots maximaux (Ford-Fulkerson), et graphes planaires.

Public concerné par ce PDF

Ce cours s'adresse aux étudiants en informatique (niveau licence/master), aux ingénieurs en algorithmique, et aux professionnels travaillant dans l'optimisation de réseaux ou l'analyse de données. Les prérequis incluent une base en mathématiques discrètes et en programmation. Les chercheurs en IA ou en théorie des graphes y trouveront également des outils pertinents pour modéliser des problèmes complexes.

Exemples pratiques et applications réelles

L'algorithmique des graphes est utilisée dans de nombreux domaines :

• Réseaux sociaux : Détection de communautés via des algorithmes de clustering (ex : Louvain).
• Logistique : Optimisation des trajets de livraison avec Dijkstra ou A*.
• Bio-informatique : Analyse de réseaux protéiques ou génétiques.
• Jeux vidéo : Pathfinding pour les personnages non-joueurs (NPC).

Secteurs d'application professionnelle

• Transport et logistique : Optimisation des réseaux routiers ou aériens (ex : calcul des trajets les plus courts pour Uber ou Waze).
• Télécommunications : Conception de réseaux résistants aux pannes grâce aux concepts de connectivité (ex : backbone Internet).
• Santé : Modélisation des interactions entre médicaments et effets secondaires via des graphes bipartis.

Nouveauté 2025 : L'essor des graphes dynamiques pour modéliser en temps réel les flux de données dans les villes intelligentes (smart cities).

Guide des termes importants

• Graphe orienté : Graphe où les arêtes ont une direction (ex : flèches).
• Arborescence : Arbre orienté avec une racine unique et des chemins uniques vers chaque nœud.
• Flot maximal : Quantité maximale de "flux" pouvant traverser un réseau (ex : trafic routier).
• Fermeture transitive : Extension d'un graphe pour inclure toutes les relations indirectes.
• Graphe planaire : Graphe pouvant être dessiné sans intersections d'arêtes.

Réponses aux questions fréquentes

Quels sont les algorithmes de graphes les plus utilisés ?
Les algorithmes de Dijkstra (plus courts chemins), Kruskal/Prim (arbres couvrants), et Ford-Fulkerson (flots) sont fondamentaux en optimisation.

Comment détecter un cycle dans un graphe ?
Via un parcours en profondeur (DFS) : si un nœud déjà visité est revisité, un cycle existe.

Qu'est-ce qu'un graphe biparti ?
Un graphe dont les nœuds peuvent être divisés en deux ensembles disjoints (ex : relations employeur-employé).

Quelle est la différence entre DFS et BFS ?
DFS explore en profondeur (pile), BFS en largeur (file). DFS est utilisé pour les connexités, BFS pour les plus courts chemins.

Comment représenter un graphe en programmation ?
Via des matrices d'adjacence (pour des graphes denses) ou des listes d'adjacence (pour des graphes creux).

Exercices appliqués et études de cas

Projet 1 : Optimisation de réseau électrique
Étapes : 1) Modéliser le réseau comme un graphe pondéré. 2) Appliquer l'algorithme de Prim pour trouver le réseau le moins coûteux. 3) Tester la résistance aux pannes avec des algorithmes de connectivité.

Projet 2 : Système de recommandation
Étapes : 1) Construire un graphe d'utilisateurs et de produits. 2) Appliquer un algorithme de clustering (ex : Louvain) pour identifier des groupes similaires. 3) Recommander des produits basés sur les connexions.

Étude de cas : Réseau social
Analyser un dataset Twitter pour identifier les influenceurs via le calcul des centralités (degré, intermédiarité).